学髓之道：我的逆袭法典 第45章 一道平面几何题的五种解法探索

凌凡的“数学筑基工程”进行到平面几何部分。这是初中数学的另一大基石，也是许多学生头疼的领域，充斥着各种看都看不出来的辅助线和灵光一闪的奇妙思路。

对于凌凡这种自认“脑洞大”但“逻辑弱”的学渣来说，几何曾经是他的噩梦——那些图形在他眼里不是智慧的结晶，而是一堆莫名其妙线条的堆砌。

但现在，手握“错题五步法”和“回归基础”两**宝，他决定换一种方式来叩击几何之门。

这天，他遇到了一道初中几何的经典题，难度中等偏上，正好卡在他的“最近发展区”——

【题目】：如图，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°。D是BC边上的点，且BD = 2DC。求证：AD ⊥ BC。

（他手动画了个草图：一个顶角120°的等腰三角形，底边BC上有一个点D，满足BD是DC的两倍。）

凌凡盯着题目看了五分钟，大脑一片空白。证明垂直？通常需要证角度相等或勾股定理逆定理。但在这个图形里，角度乱七八糟，线段长度也不知道，从哪里下手？

若是以前，他最多挣扎十分钟，然后就会放弃，直接去看答案，哦一声，感叹一下“原来要这么作辅助线”，然后……就没有然后了。

但这一次，他没有。

他想起陈景先生说过：“一道好题，就像一颗钻石，有很多个切割面，从不同的角度去看，会闪耀出不同的光芒。只满足于一种解法，是买椟还珠。”

而且，他最近夯实基础，特别是对全等三角形、相似三角形、勾股定理、三角函数（正弦余弦定理）有了更深入的理解，隐隐觉得这些工具似乎都能用上。

一个大胆的、甚至有些“疯狂”的念头在他脑中诞生：

“我要用尽可能多的方法来解决这道题！看看这颗‘钻石’到底有多少个切面！”

这个想法让他兴奋起来，仿佛不是在做题，而是在策划一场有趣的思维探险。

他拿出最大的草稿纸，在中间画下标准的图形，标好所有已知条件。然后，像开辟战场一样，在草稿纸的四周划出几块区域，分别写上：

【解法一：面积法】 【解法二：勾股定理法】 【解法三：相似三角形法】 【解法四：坐标法】 【解法五：三角函数法】

他要同时向五个方向发起进攻！

战役一：面积法（最直观的尝试） 思路：如果AD⊥BC，那么AD就是△ABC在BC边上的高。或许可以从面积关系入手？ 用余弦定理或作高，他用了作高，顺便复习了含30°的直角三角形三边关系。 但如何证明这个比例？需要知道S△ABD和S△ADC的面积关系。 他连接A和BC中点？不对… 他尝试用共角三角形面积比…△ABD和△ABC共享∠B？不对，底边不同… 卡住了。面积法似乎需要更巧妙的构造，他暂时搁置。（解法一：暂时受阻）

战役二：勾股定理法（最朴素的暴力计算） 思路：要证AD⊥BC，只需在△ABD和△ADC中，证明AD2 BD2 = AB2 和 AD2 DC2 = AC2？不对，这是直角三角形判定，但需要的是AD2 某个值？ 更直接：如果AD⊥BC，垂足为H，那么只需证明AD2= AH2 DH2？这又绕回去了。 正确的勾股定理应用，应该是分别表示出AD、AB、BD等的长度，然后看是否存在平方关系。 他设DC= x, 则BD = 2x, BC = 3x。 由AB=AC，∠A=120°，利用余弦定理可求出AB2= (3x)2 ? 不对，余弦定理是针对△ABC的边BC… 他发现自己对勾股定理和余弦定理的应用场景有些混淆，计算也变得复杂。（解法二：陷入计算泥潭，暂时放弃）

战役三：相似三角形法（需要辅助线的灵光一闪） 思路：证明垂直，常常可以通过证明角相等来实现。有没有相似三角形能推出90°角？ 他仔细观察图形。AB=AC，等腰三角形。∠BAC=120°，那么底角∠ABC=∠ACB=30°。 D是BC上一点，BD=2DC。 他尝试过D点作DE平行于AC交AB于E？或者作DF平行于AB交AC于F？ 或者，更常见的，过A点作BC的垂线？但这就是直接去证垂直了，循环论证。 他需要构造出包含AD和BC的相似形。 苦思冥想…没有头绪。（解法三：缺乏灵感，搁浅）

连续三个方向受挫！ 若是以前，凌凡早就崩溃放弃了。 但今天不同，他有五个战场！一个方向不行，立刻切换另一个！这种多线探索的方式，反而减轻了单一失败带来的挫败感。

战役四：坐标法（降维打击，无脑计算） 思路：这是他的“杀手锏”，也是他最近自学向量和坐标几何后想尝试的方法。把几何问题代数化！ 他立刻建立平面直角坐标系： 以B点为原点(0,0)，BC边放在x轴上，C点就在(3x,0) （因为设DC=x, BD=2x, BC=3x）。 现在需要确定A点坐标。因为AB=AC，且∠A=120°。 嗯？！不对！点积不为零！ 凌凡心里一惊，差点以为自己的筑基工程白费了。但他迅速冷静检查。 发现错误：定比分点公式用错了！BD:DC = 2:1，意思是B-＞D-＞C……。 正确公式……这个没错。 那是哪里错了？啊！垂直的判断错了！ 要证AD⊥BC，应该是AD向量· BC向量 = 0。 而……确实不为零！ 凌凡懵了。难道题目是错的？不可能啊。 他再次审视题目和图形。突然，他猛地一拍脑袋！ “蠢货！AD⊥BC，垂足是D吗？！我默认了D是垂足，然后用坐标法去证，这本身就是循环论证啊！我要证的是AD⊥BC，垂足未必是D啊！我应该设垂足为H，然后证H和D重合！” 坐标法的正确思路：是先求出BC的方程（y=0），然后求A到BC的垂足H的坐标，再证明H和D是同一个点！ BC是x轴，A(1.5x,(√3 / 2)x)到x轴的垂足H坐标显然是(1.5x, 0)。 而D点坐标是(2x,0)！ 1.5x≠ 2x ！ 所以AD根本不垂直于BC？! 题目是错的？! 凌凡彻底凌乱了。他感觉自己发现了一个惊天大秘密。

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