学髓之道：我的逆袭法典 第66章 天赋与方法的第一次思维碰撞

晚自习结束的铃声像一道闸门，放走了教室里的喧嚣和疲惫。凌凡却像激流中的一块石头，岿然不动。林天的突然介入和离去，像一阵风，吹皱了他思维的池水，却并未动摇其深处的决心。桌面上，摊开着两张草稿纸：一张是他自己那未完成的、带着参数k的直线方程推导；另一张是林天留下的、写着三种特殊情况下MN直线方程的“半成品”。

两种风格，两种路径，在此刻形成了无声的对峙。

凌凡的目光在两份草稿之间来回移动。林天的方法，灵动机巧，试图通过有限的特殊情形窥探全局真相，却意外地陷入了逻辑困境（L1和L2平行，无法提供有效交点信息）。而他自己的方法，虽然计算繁琐，却是一条直抵核心的、未曾中断的康庄大道——尽管这条大道最后一段被迷雾笼罩。

“恒过定点……”凌凡再次咀嚼着这四个字，手指点着自己推导出的那个复杂方程： 8k y - 3√3 k2 (x 4) = -3√3 (x-4)

这个方程必须对椭圆上任意点P（即对所有k值）都导致直线MN经过某个固定点(x0, y0)。这意味着什么？

一个关键的数学洞察在此刻如同闪电般照亮了他的脑海！

如果一条含参数k的直线方程恒过定点，那么将这个方程整理成关于k的多项式，该定点(x0, y0)的坐标必须使得k的各次幂的系数都为零！

因为只有这样，无论k取何值，方程左右两边才都能相等！

这才是处理这类“恒过定点”问题的通法！一把万能钥匙！

林天那取特殊值的技巧，只是这把万能钥匙的一种特殊尝试，而且在这种结构下似乎失效了。而他自己，在懵懂中，已经走到了正确的大门之前，只差临门一脚！

巨大的兴奋感瞬间驱散了所有困惑和犹豫。他立刻行动起来。

将方程所有项移到一边： 8k y - 3√3 k2 (x 4) 3√3 (x-4) = 0

整理成关于k的降幂排列： - 3√3 (x 4) k2 8y k 3√3 (x-4) = 0（方程★）

这是一个关于参数k的二次方程！对于椭圆上任意一点P（对应任意k值），这个方程都必须成立！

要使一个二次方程对任意k都成立，唯一的可能性是： 二次项系数 = 0 一次项系数 = 0 常数项 = 0

即：

1. -3√3 (x 4) = 0 =＞ x 4 = 0 （因为-3√3≠0）

2. 8y = 0 =＞ y = 0

3. 3√3 (x - 4) = 0 =＞ x - 4 = 0

凌凡愣住了。

条件1要求 x = -4。 条件3要求 x= 4。 条件2要求 y= 0。

这根本不可能同时满足！这是一个矛盾方程组！

“这……这怎么可能？”凌凡感到一阵眩晕，仿佛攀登了许久，却发现山顶根本不存在。“难道题目错了？或者我哪里计算出了严重错误？”

巨大的挫折感几乎要将他淹没。他之前所有的努力和坚持，难道换来的就是一个荒谬的矛盾？

他不甘心！他绝不相信是题目错了！一定是哪里出了问题！

他强迫自己冷静下来，像侦探重新审视案发现场一样，从头到尾检查自己的每一步推导。从设参P(2cosθ, √3 sinθ)，到求M、N坐标，到利用半角公式化简，再到求直线MN方程，最后到整理成关于k的方程……

一步，一步，又一步……

他的目光死死锁定在最后那一步——整理成关于k的二次方程（方程★）。

- 3√3 (x 4) k2 8y k 3√3 (x-4) = 0

……对任意k成立……

……需要各项系数为零……

……导致矛盾……

“等等！”凌凡猛地抓住了脑海中的一丝闪光，“对任意k成立……这句话真的完全正确吗？”

他重新审视问题。参数k = tan(θ/2)，θ是椭圆参数角。当P点在椭圆上运动时，k可以取一切实数吗？

显然不是！

因为P点异于A、B，所以θ ≠ 0, π，所以θ/2 ≠ 0, π/2，所以 k = tan(θ/2) ≠ 0 且 k → ∞ (当θ→π时)？ 不，θ→π时，P→B(2,0)，但P异于B，所以k可以趋近于无穷，但取不到无穷。k的取值范围是(-∞, 0) ∪ (0, ∞)。k可以取所有非零实数！

那么，方程★是一个关于k的二次方程，它需要对所有非零实数k都成立！

要求一个二次方程对所有非零实数k都成立，和对所有实数k都成立，是一回事吗？

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