学髓之道：我的逆袭法典 第209章 专题突破：导数在函数单调性、极值中的应用

高二下学期的数学，如同驶入了真正波涛汹涌的外海。凌凡凭借“难题本”和“陈景三式”在综合题面前稳住了阵脚，但他清楚，真正的“深水区”考验的是对核心工具的极致掌握。而“导数”这把利剑，尤其是它在处理函数单调性与极值问题时的应用，无疑是这片海域必须征服的第一头深海巨兽。

数学老师用了连续两节课，系统性地梳理了导数与函数性质的关系。黑板上写满了公式和步骤：求导，令导数为零找驻点，列表分析驻点两侧导数正负判断单调性，进而确定极值……原理清晰，步骤明确。凌凡在课上听得明明白白，笔记也做得一丝不苟。

然而，当配套的专题练习发下来时，凌凡才意识到，课堂的“明白”与独立解题的“熟练”之间，隔着一道需要大量练习才能跨越的鸿沟。

练习册上的题目，像是故意刁难，将各种复杂情况揉捏在一起：

有的函数解析式本身就很复杂，求导过程繁琐，一不小心就会算错；

有的函数含有参数，需要讨论参数取值对导函数符号的影响，一步想漏，满盘皆输；

有的题目要求的是“在某个区间上”的单调性，这就需要额外考虑区间端点与驻点的关系；

还有的更是将单调性、极值与不等式恒成立、函数零点等问题结合起来，形成小型的综合题。

凌凡深吸一口气，他知道，不能再像之前那样零散地做题了。他必须进行一次集中的、高强度的 “专题突破” 。目标就是将“导数判断单调性极值”这一套流程，从“知识”彻底变成一种近乎本能的“技能”。

他制定了为期三天的“导数专题突破计划”：

第一天：基础巩固与计算提速

· 任务：专注于不含参数的复杂函数求导与单调性、极值判断。重点训练求导的准确性和速度。

· 过程：他找来几十道这类题目，设定时间，埋头苦算。开始时，他需要严格按照步骤，一步步求导、解方程、列表。随着练习量的增加，他发现自己求导时更加谨慎，出错的概率下降；解一元方程的速度更快；列表分析时，思维也更为流畅。他不再需要刻意回忆步骤，肌肉记忆开始形成。

第二天：参数讨论与分类思想

· 任务：主攻含参函数的单调性与极值问题。

· 过程：这是难点所在。他遇到的第一道坎就是“分类标准”的确定。例如，一个二次项系数含参数的导函数，他必须第一时间意识到要讨论参数是否为零。然后是判别式的正负，根的大小，以及根与给定区间的位置关系……他开始在草稿纸上画“分类树状图”，穷尽所有可能。这个过程极其耗费心神，需要绝对的严谨。他强迫自己慢下来，不追求速度，只追求分类的“不重不漏”。每完成一道题，他都会在“难题本”（简化版，记录典型思路）上总结这类参数讨论题的通用分类框架。

第三天：综合应用与边界处理

· 任务：挑战与不等式、零点等结合的题目，并强化对“闭区间上”最值问题的处理。

· 过程：题目难度明显提升。例如，要求“函数在某个区间上单调递增，求参数范围”。这需要将语言转化为“导数在该区间上大于等于零恒成立”的不等式问题，进而可能再次转化为参数讨论。他反复运用“拆解”心法，将综合题拆解为“求导”、“处理恒成立不等式”、“参数讨论”等几个模块，然后分块击破。对于闭区间上的最值，他总结了“三步法”：求驻点、算端点、比较大小。他刻意练习区分“极值点”和“最值点”的概念，避免掉入陷阱。

在这三天里，凌凡仿佛进入了一个只有函数和导数的世界。他的草稿纸上写满了密密麻麻的演算过程，桌边堆起了高高的草稿纸。有时为了一个复杂的求导，他要反复验算好几遍；有时为了一个分类讨论的细节，他会和赵鹏争论得面红耳赤；有时遇到一道精巧的题目，他解出来后会兴奋地拍桌子，然后把这种巧妙的思路赶紧记录到“难题本”上。

苏雨晴注意到凌凡这股疯狂的劲头，在一次讨论课后题时，她淡淡地说了一句：“导数专题突破？这个选择很明智。这是后面很多内容的基础，磨刀不误砍柴工。”得到她的 tacit approval，凌凡的动力更足了。

三天高强度的专题训练结束时，凌凡感觉自己对“导数-单调性-极值”这套工具的理解和应用能力，发生了质的飞跃。

速度上，他求导和解方程的速度快了一倍不止，几乎形成了条件反射。

准确度上，他对于含参问题的分类讨论，思路清晰，很少再出现遗漏。

深度上，他开始能洞察一些题目背后的意图，比如看到函数形式，就能预判到可能在哪些点取得极值，需要讨论哪些情况。

更重要的是，他感觉自己手握的“导数”这把剑，变得更加得心应手。他不再惧怕那些看起来复杂的函数，因为他知道，只要遵循可靠的流程（求导、找点、列表、判断），再复杂的问题也能被一步步拆解开来。

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