学髓之道：我的逆袭法典 第103章 一道竞赛题的死磕：三天的不眠不休

周末竞赛辅导班的“见世面”，像在凌凡平静的学海中投入了一颗深水炸弹。那些高阶的概念、简洁的解法，尤其是林天等人举重若轻的姿态，在他心中激起了巨大的波澜。回归到常规的课堂学习，他依然按部就班地巩固模型、刷着高考难度的习题，但内心深处，总有一股难以言喻的躁动，一种想要挑战更高难度、验证自身思维韧性的渴望。

这个机会，以一种意外的方式到来了。周二下午，物理课代表抱着一摞复印资料进来，说是郑老师找来的“拓展思维”练习题，有兴趣的同学可以自愿取阅。大部分同学只是瞥了一眼，便被上面复杂的图形和符号劝退。凌凡却鬼使神差地走上前，拿了一份。

回到座位，他翻看着这些明显超纲的题目。其中一道题，像有魔力一般，瞬间抓住了他的全部注意力：

【题目】：如图，一质量为M、半径为R的匀质圆球，静止置于一质量为m、长度为L的匀质木板的一端。木板置于光滑水平面上。现给木板一极轻微的扰动，使其具有一初始水平速度v?（v?极小，可认为球与木板之间无相对滑动初始条件成立）。已知球与木板间的摩擦因数为μ。求： （1）从开始运动到球滚到木板另一端（刚好未掉落）所需时间t。 （2）此过程中，木板相对于地面的位移s。

没有复杂的电场磁场，只涉及熟悉的物体（球、木板）、熟悉的力（重力、支持力、摩擦力）、熟悉的环境（光滑水平面）。但组合在一起，却构成了一个令人头皮发麻的复杂动力学过程。它考察的不是单一知识点，而是对受力分析、临界条件、动量、能量、刚体转动的综合运用能力，其难度远超高考压轴题，散发着纯正的竞赛气息。

若是以前的凌凡，大概会苦笑一声，然后将这份资料塞进抽屉最底层。但此刻，竞赛班见识过的那种对物理本质的追求，以及内心深处那股不服输的劲头，促使他产生了一个疯狂的念头：我要试试看。哪怕解不出来，也要看看自已能走到哪一步！

这场一个人的战争，就此打响。

第一天：初探与受挫（周五晚）

凌凡首先尝试构建模型。系统：球（刚体，会滚动）、木板（质点？还是也要考虑其分布？题目说匀质木板，但通常若M＞＞m，可近似木板为质点，但这里质量关系未知，需谨慎）。过程：木板带动球运动，球在木板上滚动，有相对运动趋势和静摩擦力。

他意识到第一个关键点：球在木板上做无滑动的纯滚动！ 因为初始无相对滑动，且v?极小，可假设静摩擦力未达到最大值，维持纯滚动状态。这意味着，球与木板接触点瞬时速度相同。

他画出受力图：

· 对球：重力Mg，木板支持力N1，静摩擦力f（方向？阻碍球相对木板向后滚动，所以对球而言，f方向向前？促进球质心运动？）

· 对木板：重力mg，地面支持力N2，球压力N1（向下），球对木板的摩擦力f（向后，阻碍木板运动）。

根据牛顿第三定律，f = f。

列方程： 对木板（水平）：-f= m a板 （木板减速） 对球（水平）：f= M a球 （球加速） 对球（转动）：摩擦力f产生力矩，f * R= I * β = (2/5 M R2) * β （球绕质心转动角加速度β） 纯滚动条件：a球= β * R （质心加速度等于角加速度乘半径）

四个方程，看似可以求解a球， a板， f， β。 联立后，他得到 a球= (5f)/(2M), 又因为f = M a球，代入得 a球 = (5 M a球)/(2M) =＞ 1 = 5/2？ 矛盾！

凌凡愣住了，反复检查计算，发现了一个致命错误：对于球，水平方向的合外力就是f，所以f = M a球 没错。但转动方程 f R = I β 中的f，也是同一个f。将f = M a球 代入转动方程： M a球 R = (2/5 M R2) β =＞ 化简得 a球 = (2/5) R β？ 这与纯滚动条件 a球 = R β 矛盾！（2/5 ≠ 1）

这意味着什么？他的模型假设出了问题！ 球在木板上不可能维持无滑动的纯滚动？或者说，静摩擦力f必须同时满足平动和转动方程，但这两个方程对f的要求是矛盾的（除非球是某种特殊质量分布？但匀质球I=2/5 MR2是固定的）！

这个发现让凌凡惊出一身冷汗。他意识到问题远比他想象的复杂。可能的过程是：初始瞬间，静摩擦力试图维持纯滚动，但发现无法同时满足平动和转动需求（因为木板也在加速），因此很快会出现相对滑动！摩擦力由静摩擦变为滑动摩擦！

这意味着整个过程需要分段处理！存在一个从静摩擦到滑动摩擦的临界点！

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