神系统：从高三开始引领科技革命 第8章 仿射变换的降维打击

顾知夏还处于怔愣之中，几乎是下意识地，便将手中的自动铅笔递了过去。

陈启明接过笔。

他的笔尖，精准地落在了刚才他手指轻点的那片空白处。

“你觉得这道题难，”陈启明开口了，声音不大，却如同惊雷般在王宇和顾知夏的耳边炸响，“是因为你的思维，被禁锢在了代数计算的牢笼里。而它的本质，是几何。”

话音未落，他的笔，动了！

没有设方程，他只是在草稿纸上，以惊人的速度和精度，徒手画出了一个完美的直角坐标系和一条弧度无可挑剔的抛物线！

“看这里，”这一次，他的话是专门对顾知夏说的，语气温和而清晰，彻底将身旁脸色铁青的王宇当成了空气，“这道题，考核的不是你的计算能力，而是思维能力。

“椭圆的标准方程是x2/a2＋y2/b2＝1，这道题目之所以计算量大呢，除了设的直线本身也含未知数k，b，也因为椭圆的a和b不相等，于是导致所有的斜率、距离计算都变得异常复杂。但如果……他是一个圆呢？”

“圆？”顾知夏下意识地重复了一句，脑子依然有些短路。

“对，一个圆。”

陈启明在第一个坐标系的旁边，闪电般画出了第二个同样完美的直角坐标系。这一次，他在其中画下了一个正圆。

“我们来做一次‘升维’，或者说，换一个‘视角’来看它。”陈启明一边说，手中的笔一边在草稿纸上写下一行简单的变换式，“就像换元那样，令x=x，y=y*a/b。不过一般都把这种叫做‘仿射变换’。”

他的笔尖在变换式上轻轻一点，然后指向那个椭圆。

“在这个变换下，你来看，原先椭圆上的任意一点 P（x，y），会变成什么？”

顾知夏的脑子在陈启明的引x导下，开始飞速运转。她看着那个变换式，将点的坐标代入……

x2＋y2=x2＋y2*a2/b2

这个结果似乎没什么意义……她再次陷入了迷茫。

王宇在一旁，死死地盯着那行变换式，眉头紧锁。仿射变换？这是什么东西？高中数学里根本没有教过！这小子是在故弄玄虚吧？一定是！他强行压下内心的惊涛骇浪，冷哼一声，试图找回场子：“装神弄鬼，直接联立方程靠韦达定理不是更直接？搞这些没用的东西……”

他的话还没说完，就被陈启明接下来的动作彻底噎了回去。

陈启明根本没看他，仿佛他的存在就是一粒微不足道的尘埃。他只是对顾知夏温和地笑了笑，提点道：“别急，你再看看椭圆的原始方程。”

原始方程……x2/a2＋y2/b2＝1

顾知夏的目光在这两个公式之间来回跳转。

x2＋y2=x2＋y2*a2/b2

x2/a2＋y2/b2＝1→b2x2＋a2y2=a2b2

忽然，一道闪电划破了她脑海中的混沌！

如果……如果将第一个式子里的x2和y2用第二个式子里的关系来表示……不，不对！

陈启明似乎看穿了她的困惑，笔尖轻轻一动，在x2/a2＋y2/b2＝1的两边同时乘以a2

于是，方程变成了：x2＋y2*a2/b2=a2

顾知夏的眼睛瞬间瞪圆了！

左边……左边这一项，不就是刚才她算出来的 x2＋y2吗？！

所以……x2＋y2=a2！

这……这是一个半径为a的标准圆的方程！

“轰！”

顾知夏只觉得自己的整个世界观都被颠覆了。

原来，那个令人望而生畏、计算繁琐的椭圆，只需要通过一个简单的坐标拉伸，就能变回一个最完美、最和谐、性质最简单的图形——圆！

“现在，我们再来看原来的问题。”陈启明的语气如同一个最耐心的导师，循循善诱，“题目要求的是，过椭圆上任意一点P（x，y）……求面积最值……

整个推导过程，在脑海中一闪而过，清晰、简单、流畅，没有任何停顿！

这……这就求出来了？

王宇在旁边已经彻底看傻了。他虽然没完全听懂那个“仿射变换”的原理，但后面在圆上的推导过程，他却看得一清二楚！那是他再熟悉不过的解题步骤，可他从来没想过，一道复杂的椭圆难题，能以这样一种“降维打击”的方式被瞬间秒杀！

他引以为傲的、那套繁复的代数运算体系，在陈启明所展示的几何思想面前，就像一个用泥巴堆砌的城堡，被一记重锤，砸得粉碎！

“那么，最后一步。”陈启明的声音将顾知夏从震撼中拉了回来，“‘旧世界’和‘新世界’的面积，是什么关系？”

他指了指变换式：x=x，y=y*a/b

“这个变换，x轴方向的长度没有变，但y轴方向的长度，被拉伸了a/b倍。所以，任何一个图形，在新世界里的面积，都是旧世界里面积的a/b倍。”

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